[tex]1) \: \frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = 30 \\ Condiții \: de \: existență \\ n + 1 \geqslant 0⇒n \geqslant - 1⇒n∈[-1; + ∞)①\\ n - 1 \geqslant 0⇒n \geqslant 1⇒n∈[1; + ∞)② \\ Din \: ① \: și \: ② ⇒n∈[1;∞) \: sau \: n \geqslant 1 \\ \frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = 30⇒ \frac{(n - 1)!n(n + 1) }{(n - 1)!} = 30⇒ \\ n(n + 1) = 30⇒ {n}^{2} + n - 30 = 0⇒ \\ {n}^{2} + 6n - 5n - 30 = 0⇒ \\ {n}^{2} + 6n - (5n + 30) = 0⇒ \\ n(n + 6) - 5(n + 6) =0⇒ \\ (n + 6)(n - 5) = 0 \\ n_{1} + 6 = 0⇒n_{1} =- 6 > 0 \: (fals) \\ n_{2} - 5 = 0⇒n_{2} = 5 > 0 \: \: (adevărat) \\ Soluția: n=5 \\ \\ 2) \frac{n!}{(n - 4)!} = \frac{12n!}{(n - 2)!} \\ Condiții \: de \: existență \\ n\geqslant 0 \: ❶ \\ n - 4 \geqslant 0⇒n \geqslant 4 \: ❷\\ n - 2 \geqslant 0⇒n \geqslant 2 \: ❸ \\ Din \: ❶, \: ❷ \: și \: ❸ ⇒n \geqslant 4. \\ \frac{n!}{(n - 4)!} = \frac{12n!}{(n - 2)!} | \div n! ⇒ \\ \frac{(n -2)!}{( n-4)!} =12 ⇒ \\ \frac{(n - 4)!(n - 3)(n - 2)}{(n - 4)!} =12⇒ \\ (n - 3)(n - 2) = 12⇒ \\ {n}^{2} - 5n + 6 - 12 = 0 ⇒ \\ {n}^{2} - 5n - 6 = 0 ⇒ \\ {n}^{2} - 6n + n - 6 = 0 ⇒ \\ n(n - 6) + 1(n - 6) = 0 \\ (n - 6)(n + 1) = 0 \\ n_{1} - 6 = 0⇒ n_{1} = 6 \geqslant 4 \: (adevărat) \\ n_{2} + 1 =0⇒n_{2} = - 1 \geqslant 4 \: (fals) \\ Soluția: n=6 \\ \\3) \: \: \frac{A_{n}^{5} +A_{n}^{7}}{A_{n}^{6}} = \frac{ \frac{n! }{(n - 5)!} + \frac{n!}{(n-7)!} }{ \frac{n!}{(n - 6)!}} = \\ \frac{ \frac{n![(n - 7) ! + (n - 5)!]}{(n - 6)!(n - 5)•(n - 7)!}}{ \frac{n! }{(n - 6)!}} = \frac{(n - 7)!}{(n - 7)!(n - 5) } + \frac{(n - 5)!}{(n - 5)(n - 7)!} = \\ \frac{1}{n - 5} + \frac{(n - 7)!(n - 6)(n - 5) }{(n - 7)!(n - 5) } = \\ \frac{1 + (n - 6)(n - 5)}{n - 5} = \\ \frac{ {n}^{2} - 11n + 31}{n - 5} \\ \\ 4) \: \: \frac{A_{n - 1}^{k - 1}•P_{n - k} }{ P_{n - 1}} \\ = \frac{ \frac{(n - 1) !}{(n - 1 - (k - 1)) ! } • (n - k)! }{(n - 1) ! } \\ = \frac{(n - 1)! •(n - k)! }{(n - 1 - k + 1)! • (n - 1)! } \\ = \frac{ (n - 1)! •(n - k)! }{ (n - k )! • (n - 1)! } \\ = 1[/tex]
