Răspuns:
Explicație pas cu pas:
1. a) Daca avem vectori exprimati in functie de versori (a = i + j si b = 2i + 4j), se poate inlocui direct in calculul vectorial:
2a + 3b = 2(i + j) + 3(2i + 4j) = 2i + 2j + 6i + 12j = 8i + 14j
b) Similar, a + b = i + j + 2i + 4j = 3i + 5j
Daca ar fi sa generalizam forma cu versori, un vector V = xi + yj
Pentru a aflat modulul unui vector, avem nevoie de x, y si urmatoarea formula:
[tex]|V| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}[/tex]
Asadar pentru a + b vom avea:
[tex]|a + b| = |3i + 5j|=\sqrt{3^{2} + 5^{2}}=\sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}[/tex]
2. Pentru ca doi vectori sa fie coliniari este nevoie sa se indeplineasca conditia [tex]V_1 = \lambda V_2[/tex]
Asadar:
[tex](a+2)i + (2a - 9)j = \lambda (5i - 3j)\\(a+2)i + (2a - 9)j= \lambda 5i - \lambda3j\\[/tex]
Se pot desparti termenii cu i de termenii de j, formand 2 ecuatii diferite:
[tex]\left \{ {{a + 2 = \lambda5} \atop {2a-9 = -\lambda3}} \right.\\[/tex]
Daca se rezolva sistemul, se obtine a = 3, caz in care lambda va fi 1.
3. Aici trebuie sa mutam putin termenii
MA + MC = MB + MD
MA - MB = MD = MC
Folosind relatia AB = -BA. rescriem:
MA + BM = MD + CM
BM + MA = CM + MD (am inversat pozitia lor)
Avem relatia AB + BC = AC (ca si cum punctul din mijloc, B, le-ar "reuni")
Deci, avem:
BM + MA = BA
CM + MD = CD
Iar relatia devine BA = CD
Acest lucru este adevarat deoarece este vorba de un dreptunghi, unde latura AB este egala cu latura CD (deci modulele sunt egale) iar daca vei face pe desen acesti 2 vectori vei vedea ca au aceeasi directie si sens.
