Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a)
Notam masura unghiului A cu m(∡A)
Notam masura unghiului B cu m(∡B)
Notam masura unghiului C cu m(∡C)
Notam masura unghiului D cu m(∡D)
Ne amintim ca in orice patrulater convex, suma unghiurilor este 360°.
In patrulaterul nostru, avem
m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) + m(∡D) = 360°
Dar din ipoteza avem
m(∡A) = m(∡B) = m(∡C) = m(∡D)
⇒
m(∡A) = m(∡B) = m(∡C) = m(∡D) = 360°/4 = 90°
⇒
ABCD este cel putin dreptunghi; daca are laturile congruente atunci el este patrat.
b)
In patrulaterul ABCD, avem:
m(∡A) = m(∡B) = m(∡C) = 90°
Ne amintim ca in orice patrulater convex, suma unghiurilor este 360°.
⇒
m(∡D) = 360° - [ m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) ]
m(∡D) = 360° - [ 90° +90° +90°]
m(∡D) = 360° - 270°
m(∡D) = 90°
⇒
m(∡A) = m(∡B) = m(∡C) = m(∡D) = 90°
⇒
ABCD este cel putin dreptunghi; daca are laturile congruente atunci el este patrat.
c)
Presupunem ca in patrulaterul ABCD, avem:
m(∡A) < 90°
⇔
m(∡A) = 90° - x°
si
m(∡B) = 90°
Ne amintim ca in orice patrulater convex, suma unghiurilor este 360°. Deci in ABCD avem
m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) + m(∡D) = 360°
⇒
90° - x° + 90° + m(∡C) + m(∡D) = 360°
m(∡C) + m(∡D) - x° = 360° - 90° - 90°
m(∡C) + m(∡D) = 180° + x°
Pt.ca aceasta egalitate sa fie adevarata unul din unghiurile C sau D sau ambele trebuie sa fie obtuze, ceea ce ar contrazice ipoteza.
⇒
m(∡A) = m(∡B) = m(∡C) = m(∡D) = 90°
⇒
ABCD este cel putin dreptunghi; daca are laturile congruente atunci el este patrat.
