Răspuns:
c) √3 - 1
Explicație pas cu pas:
În primul rând, stabilim cum ies de sub radical numerele (5-3√3) și (2√3-4)
Pentru asta, trebuie să comparăm pe 5 cu 3√3 și pe 4 cu 2√3
Nu putem face asta direct, ci prin ridicare la pătrat:
5² = 25
(3√3)² = 9·3 = 27. Rezultă că 3√3 > 5, deci [tex]\sqrt{(5-3\sqrt{3} )^{2} } = 3\sqrt{3} - 5[/tex]
Similar comparăm pe 4 cu 2√3
4² = 16
(2√3)² = 4·3 = 12. Rezultă că 4 > 2√3, deci [tex]\sqrt{(2\sqrt{3}-4)^{2} } = 4-2\sqrt{3}[/tex]
Acum rescriem numărul a
[tex]a = \frac{1}{3\sqrt{3}-5 } - \frac{2}{4-2\sqrt{3} }[/tex]
Amplificăm fiecare termen cu conjugatul numitorului, pentru a putea folosi formula (a-b)(a+b) = a²-b²
[tex]a = \frac{3\sqrt{3}+5 }{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5) } - \frac{2(4+2\sqrt{3}) }{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3} ) }[/tex]
[tex]a = \frac{3\sqrt{3}+5 }{27-25} - \frac{2(4+2\sqrt{3}) }{16-12}[/tex]
[tex]a=\frac{3\sqrt{3}+5 }{2} - \frac{4+2\sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]a=\frac{\sqrt{3}+1 }{2}[/tex]
Acum calculăm inversul lui a:
[tex]a^{-1} = \frac{2}{\sqrt{3}+1 } = \frac{2(\sqrt{3}-1) }{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3} -1) } = \frac{2(\sqrt{3} -1)}{3-1} = \sqrt{3} - 1[/tex]
