Pentru a putea rezolva exercitiul, trebuie sa ne dăm seama că [tex]\displaystyle{ 28 - 10\sqrt{3} }[/tex] se poate scrie ca [tex]\displaystyle{ (5 - \sqrt{3})^{2} }[/tex].
[tex]\displaystyle{ 28 - 10\sqrt{3} }[/tex] il vom scrie ca [tex]\displaystyle{ 25 - 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 3 }[/tex]
Cunoscand formula [tex]\displaystyle{ (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} }[/tex] observam ca a = 5 iar b = [tex]\sqrt{3}[/tex]
Dacă nu îți dai seama de descompunerea asta nu e nicio problemă. Nu trebuie neapărat să descompui așa ca să rezolvi exercițiul, dar prin descompunere vezi soluția mult mai ușor.
[tex]\displaystyle{ 3x^{2} = (15 - 3\sqrt{3}) \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 3x^{2} = (15 - 3\sqrt{3}) \sqrt{(5-\sqrt{3})^{2}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 3x^{2} = (15-3\sqrt{3})(5 - \sqrt{3}) }[/tex]
- Acum desfacem parantezele si inmultim.
[tex]\displaystyle{ 3x^{2} = 15 \cdot 5 - 15\sqrt{3} - 5 \cdot 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 3x^{2} = 75 - 15\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 3 \cdot 3}[/tex]
- Dam radical din 3 factor comun.
[tex]\displaystyle{ 3x^{2} = 75 + 9 - \sqrt{3} \cdot (15 + 15) }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 3x^{2} = 84 - 30 \sqrt{3} }[/tex]
- 84 se divide cu 3, deci impartim tot randul la 3.
[tex]\displaystyle{ x^{2} = 28 - 10\sqrt{3} }[/tex]
Si ajungem de unde am plecat, practic. Am vazut in prima parte a raspunsului ca [tex]\displaystyle{ 28 - 10\sqrt{3} }[/tex] este de fapt [tex]\displaystyle{ (5- \sqrt{3})^{2} }[/tex]. Prin urmare:
[tex]\displaystyle{ x^{2} = (5 - \sqrt{3})^{2} }[/tex]
Aplicam radical de ordin 2 si obtinem 2 solutii reale:
[tex]\boxed{x_{1} = 5 - \sqrt{3}}[/tex] si [tex]\boxed{x_{2}=-5 + \sqrt{3}}[/tex]
